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初中数学效率翻倍的经典解题法

发布时间:2021-01-04 10:55:11 浏览数: 关键词: 翻倍 解题 初中数学

  贯穿三年学习的9个经典解题法

  1.配方法

  通过把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的方法,叫配方法。

  配方法用的最多的是配成完全平方式,它是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

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  2.因式分解法

  因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式,是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

  因式分解的方法,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

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  3.换元法

  换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。

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  4.判别式韦达定理

  一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R,a0)根的判别,△=b2-4ac(2为平方),不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

  韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用。

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  5.待定系数法

  在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

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  6.构造法

  在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法。运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决。

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  7.面积法

  平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积方法,它是几何中的一种常用方法。

  用归纳法或分析法证明平面几何题,其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线,也很容易考虑到。

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  8.几何变换法

  在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。

  所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。

  另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利于对图形本质的认识。

  几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。

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  9.反证法

  反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。

  反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。

  用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。

  反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:

  是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。

  归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。

  导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。

  做题效率翻倍的初中公式总结

  1、有理数的加法运算:

  同号相加一边倒;异号相加大减小,

  符号跟着大的跑;绝对值相等零正好.

  2、合并同类项:

  合并同类项,法则不能忘,只求系数和,字母、指数不变样.

  3、去、添括号法则:

  去括号、添括号,关键看符号,

  括号前面是正号,去、添括号不变号,

  括号前面是负号,去、添括号都变号.

  4、一元一次方程:

  已知未知要分离,分离方法就是移,加减移项要变号,乘除移了要颠倒.

  5、平方差公式:

  平方差公式有两项,符号相反切记牢,首加尾乘首减尾,莫与完全公式相混淆.

  6、完全平方公式:

  完全平方有三项,首尾符号是同乡,首平方、尾平方,首尾二倍放中央;

  首尾括号带平方,尾项符号随中央.

  7、因式分解:

  一提(公因式)二套(公式)三分组,细看几项不离谱,

  两项只用平方差,三项十字相乘法,阵法熟练不马虎,

  四项仔细看清楚,若有三个平方数(项),

  就用一三来分组,否则二二去分组,

  五项、六项更多项,二三、三三试分组,

  以上若都行不通,拆项、添项看清楚.

  8、单项式运算:

  加、减、乘、除、乘(开)方,三级运算分得清,

  系数进行同级(运)算,指数运算降级(进)行.

  9、一元一次不等式解题的一般步骤:

  去分母、去括号,移项时候要变号,同类项合并好,再把系数来除掉,

  两边除(以)负数时,不等号改向别忘了.

  10、一元一次不等式组的解集:

  大大取较大,小小取较小,小大、大小取中间,大小、小大无处找

  一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集:

  大(鱼)于(吃)取两边,小(鱼)于(吃)取中间.

  11、分式混合运算法则:

  分式四则运算,顺序乘除加减,乘除同级运算,除法符号须变(乘);

  乘法进行化简,因式分解在先,分子分母相约,然后再行运算;

  加减分母需同,分母化积关键;找出最简公分母,通分不是很难;

  变号必须两处,结果要求最简.

  12、分式方程的解法步骤:

  同乘最简公分母,化成整式写清楚,

  求得解后须验根,原(根)留、增(根)舍,别含糊.

  13、最简根式的条件:

  最简根式三条件,号内不把分母含,

  幂指数(根指数)要互质、幂指比根指小一点.

  14、特殊点的坐标特征:

  坐标平面点(x,y),横在前来纵在后;

  (+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后;

  x轴上y为0,x为0在y轴.

  象限角的平分线:

  象限角的平分线,坐标特征有特点,一、三横纵都相等,二、四横纵却相反.

  平行某轴的直线:

  平行某轴的直线,点的坐标有讲究,

  直线平行x轴,纵坐标相等横不同;

  直线平行于y轴,点的横坐标仍照旧

  15、对称点的坐标:

  对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆,

  x轴对称y相反,y轴对称x相反;

  原点对称最好记,横纵坐标全变号.

  16、自变量的取值范围:

  分式分母不为零,偶次根下负不行;

  零次幂底数不为零,整式、奇次根全能行.

  17、函数图象的移动规律:

  若把一次函数的解析式写成y=k(x+0)+b,

  二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式,

  则可用下面的口诀

  左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了

  18、一次函数的图象与性质的口诀:

  一次函数是直线,图象经过三象限;

  正比例函数更简单,经过原点一直线;

  两个系数k与b,作用之大莫小看,k是斜率定夹角,b与y轴来相见,

  k为正来右上斜,x增减y增减;

  k为负来左下展,变化规律正相反;

  k的绝对值越大,线离横轴就越远

  19、二次函数的图象与性质的口诀:

  二次函数抛物线,图象对称是关键;

  开口、顶点和交点,它们确定图象现;

  开口、大小由a断,c与y轴来相见;

  b的符号较特别,符号与a相关联;

  顶点位置先找见,y轴作为参考线;

  左同右异中为0,牢记心中莫混乱;

  顶点坐标最重要,一般式配方它就现;

  横标即为对称轴,纵标函数最值见.

  若求对称轴位置, 符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换.

  20、反比例函数的图象与性质的口诀:

  反比例函数有特点,双曲线相背离得远;

  k为正,图在一、三(象)限,k为负,图在二、四(象)限;

  图在一、三函数减,两个分支分别减.

  图在二、四正相反,两个分支分别增;

  线越长越近轴,永远与轴不沾边.

  21、特殊三角函数值记忆:

  首先记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2,

  正切、余切的分母都是3,分子记口诀123,321,三九二十七既可.

  三角函数的增减性:正增余减

  22、数字巧记:(下面的数字均是约等于,都是无理数哈!)

  =1.414(意思意思而已),

  =1.7321(三人一起商量),

  =2.236(吾量量山路),

  =2.449(粮食是酒),

  =2.645(二流是我),

  =2.828(二爸二爸),

  =3.16(山药,六两)

  23、平行四边形的判定:

  要证平行四边形,两个条件才能行,

  一证对边都相等,或证对边都平行,

  一组对边也可以,必须相等且平行.

  对角线,是个宝,互相平分跑不了,

  对角相等也有用,两组对角才能成.

  24、梯形问题的辅助线:

  移动梯形对角线,两腰之和成一线;

  平行移动一条腰,两腰同在△现;

  延长两腰交一点,△中有平行线;

  作出梯形两高线,矩形显示在眼前;

  已知腰上一中线,莫忘作出中位线.

  25、添加辅助线歌:

  辅助线,怎么添找出规律是关键.

  题中若有角(平)分线,可向两边作垂线;

  线段垂直平分线,引向两端把线连;

  三角形边两中点,连接则成中位线;

  三角形中有中线,延长中线翻一番.

  26、圆的证明歌:

  圆的证明不算难,常把半径直径连;

  有弦可作弦心距,它定垂直平分弦;

  直径是圆最大弦,直圆周角立上边,

  它若垂直平分弦,垂径、射影响耳边;

  还有与圆有关角,勿忘相互有关联,

  圆周、圆心、弦切角,细找关系把线连.

  同弧圆周角相等,证题用它最多见,

  圆中若有弦切角,夹弧找到就好办;

  圆有内接四边形,对角互补记心间,

  外角等于内对角,四边形定内接圆;

  直角相对或共弦,试试加个辅助圆;

  若是证题打转转,四点共圆可解难;

  要想证明圆切线,垂直半径过外端,

  直线与圆有共点,证垂直来半径连,

  直线与圆未给点,需证半径作垂线;

  四边形有内切圆,对边和等是条件;

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